线性代数笔记： Cholesky分解

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线性代数笔记： Cholesky分解

2023-11-27 22:06| 来源: 网络整理| 查看: 265

1 介绍

当一个实矩阵A是对称正定矩阵的时候，它可以分解成一个下三角矩阵L以及它的转置 $L^T$ 的乘积，即：

1.1 矩阵半正定的情况

如果矩阵是正定的话，那么L唯一确定；如果矩阵是半正定的话，那么也可以分解，不过此时L不唯一。

2 举例

3 使用 scipy.linalg.cholesky求解 3.1 用法 scipy.linalg.cholesky( a, lower=False, overwrite_a=False, check_finite=True)

返回值：c：(M，M)ndarray，表示a的上三角或下三角Cholesky因子。

3.2 参数介绍 a

(M, M) array_like

待分解的矩阵

lower

bool, 可选参数

是计算上三角Cholesky还是下三角Cholesky分解。默认值为upper-triangular

overwrite_a

bool, 可选参数

是否覆盖a中的数据(可能会提高性能)

check_finite

bool, 可选参数

是否检查输入矩阵仅包含有限数。禁用可能会提高性能，但是如果输入中确实包含无穷大或NaN，则会导致问题(崩溃，终止)。

3.3 用法举例 import numpy as np from scipy import linalg a = np.array([[4, 12, -16], [12, 37, -43], [-16, -43, 98]]) L_lower = linalg.cholesky(a, lower=True) # 默认计算 upper，所以指定 lower = True L_upper = linalg.cholesky(a) print(L_lower,'\n',L_upper) ''' [[ 2. 0. 0.] [ 6. 1. 0.] [-8. 5. 3.]] [[ 2. 6. -8.] [ 0. 1. 5.] [ 0. 0. 3.]] ''' print(L_lower @ L_upper) ''' [[ 4. 12. -16.] [ 12. 37. -43.] [-16. -43. 98.]] ''' 4 平方根法求L

我们假设矩阵A可以分解成

$LL^T$ 的结果为：

$\begin{bmatrix} l_{11}l_{11} & l_{11}l_{21}& l_{11}l_{31}& \dots& l_{11}l_{n1}\\ l_{21}l_{11} & l_{21}l_{21}+ l_{22}l_{22}& l_{21}l_{31}+ l_{22}l_{32}&\dots & l_{21}l_{n1}+ l_{22}l_{n2}\\ l_{31}l_{11} & l_{31}l_{21}+ l_{32}l_{22}& l_{31}l_{31}+ l_{32}l_{32}+ l_{33}l_{33}& \dots& l_{31}l_{n1}+ l_{32}l_{n2}+ l_{33}l_{n3}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ l_{n1}l_{11} & l_{n1}l_{21}+ l_{n2}l_{22}& l_{n1}l_{31}+ l_{n2}l_{32}+ l_{n3}l_{33} & \dots & l_{n1}l_{n1}+ l_{n2}l_{n2}+ l_{n3}l_{n3}+\dots+ l_{nn}l_{nn} \end{bmatrix}$